O Teorema de Tales

Um dos mais essenciais teoremas da geometria e da proporcionalidade é o Teorema de Tales. Seu criador foi o filósofo e matemático grego Tales de Mileto, que tentava deduzir a altura de uma pirâmide, e como não haviam métodos de medição precisos na época, utilizou a sombra do monumento.

O teorema estabelece que: “Se duas retas são transversais a um conjunto de três ou mais retas paralelas, então a razão entre os comprimentos de dois segmentos quaisquer determinados sobre uma delas é igual à razão entre os comprimentos dos segmentos correspondentes determinados sobre a outra.”

Isso pode ser explicado pela imagem abaixo, onde existem duas transversais a e b, e três retas paralelas r, s e t.

Com isso, é demonstrado que a razão entre qualquer segmento em uma das transversais e o segmento correspondente na outra transversal será igual.

Pode-se provar que a razão sempre será igual da seguinte maneira:

Considere:

De acordo com o Teorema de Tales, mencionado acima, é possível provar que AP/PB = AQ/QC

A área de ∆APQ = 1/2 × AP × QN (área de um triângulo = 1/2× Base × Altura)

Da mesma forma,

área de ∆PBQ= 1/2 × PB × QN

área de ∆APQ = 1/2 × AQ × PM

Além disso, área de ∆QCP = 1/2 × QC × PM - (I)

Agora, se encontrarmos a proporção da área dos triângulos ∆APQ e ∆PBQ, temos

Da mesma forma,

(II)

De acordo com a propriedade que estabelece que a área de um triângulo é definida pela soma de sua base e sua altura dividida por 2, os triângulos desenhados entre as mesmas linhas paralelas e na mesma base têm áreas iguais.

área de ∆ABC = área de ∆ABT

Portanto, podemos dizer que ∆PBQ e QCP têm a mesma área.

área de ∆PBQ = área de ∆QCP - (III)

Portanto, pelas equações (I), (II) e (III) pode-se concluir que:

AP/PB = AQ/QC

EXEMPLO: DE e BC são paralelos, determine o valor das medidas AD e AE.

Pela definição do teorema:

Resolvendo essa expressão:

Com isso concluímos que as medidas são AD=8 e AE=12.