Um dos mais essenciais teoremas da geometria e da proporcionalidade é o Teorema de Tales. Seu criador foi o filósofo e matemático grego Tales de Mileto, que tentava deduzir a altura de uma pirâmide, e como não haviam métodos de medição precisos na época, utilizou a sombra do monumento.
O teorema estabelece que: “Se duas retas são transversais a um conjunto de três ou mais retas paralelas, então a razão entre os comprimentos de dois segmentos quaisquer determinados sobre uma delas é igual à razão entre os comprimentos dos segmentos correspondentes determinados sobre a outra.”
Isso pode ser explicado pela imagem abaixo, onde existem duas transversais a e b, e três retas paralelas r, s e t.
![](https://static.wixstatic.com/media/286a64_05e9547628bd4b2ab8d764bf55b207f0~mv2.jpeg/v1/fill/w_980,h_1089,al_c,q_85,usm_0.66_1.00_0.01,enc_auto/286a64_05e9547628bd4b2ab8d764bf55b207f0~mv2.jpeg)
Com isso, é demonstrado que a razão entre qualquer segmento em uma das transversais e o segmento correspondente na outra transversal será igual.
Pode-se provar que a razão sempre será igual da seguinte maneira:
Considere:
![](https://static.wixstatic.com/media/286a64_be9632fa3a604d958e17691b982a41e4~mv2.jpeg/v1/fill/w_850,h_607,al_c,q_85,enc_auto/286a64_be9632fa3a604d958e17691b982a41e4~mv2.jpeg)
De acordo com o Teorema de Tales, mencionado acima, é possível provar que AP/PB = AQ/QC
A área de ∆APQ = 1/2 × AP × QN (área de um triângulo = 1/2× Base × Altura)
Da mesma forma,
área de ∆PBQ= 1/2 × PB × QN
área de ∆APQ = 1/2 × AQ × PM
Além disso, área de ∆QCP = 1/2 × QC × PM - (I)
Agora, se encontrarmos a proporção da área dos triângulos ∆APQ e ∆PBQ, temos
![](https://static.wixstatic.com/media/286a64_448eaac25bb34d4aae5c9fa0c2a54782~mv2.jpeg/v1/fill/w_750,h_164,al_c,q_80,enc_auto/286a64_448eaac25bb34d4aae5c9fa0c2a54782~mv2.jpeg)
Da mesma forma,
![](https://static.wixstatic.com/media/286a64_d6ced8b36c6142ec93494800a429d732~mv2.jpeg/v1/fill/w_661,h_134,al_c,q_80,enc_auto/286a64_d6ced8b36c6142ec93494800a429d732~mv2.jpeg)
(II)
De acordo com a propriedade que estabelece que a área de um triângulo é definida pela soma de sua base e sua altura dividida por 2, os triângulos desenhados entre as mesmas linhas paralelas e na mesma base têm áreas iguais.
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área de ∆ABC = área de ∆ABT
Portanto, podemos dizer que ∆PBQ e QCP têm a mesma área.
área de ∆PBQ = área de ∆QCP - (III)
Portanto, pelas equações (I), (II) e (III) pode-se concluir que:
AP/PB = AQ/QC
EXEMPLO: DE e BC são paralelos, determine o valor das medidas AD e AE.
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Pela definição do teorema:
![](https://static.wixstatic.com/media/286a64_57ea3367551c4e03bf0d6dcf26004313~mv2.jpeg/v1/fill/w_766,h_120,al_c,q_80,enc_auto/286a64_57ea3367551c4e03bf0d6dcf26004313~mv2.jpeg)
Resolvendo essa expressão:
![](https://static.wixstatic.com/media/286a64_c50b4ebec5ab40f7b204ef5c06d7caba~mv2.jpeg/v1/fill/w_363,h_410,al_c,q_80,enc_auto/286a64_c50b4ebec5ab40f7b204ef5c06d7caba~mv2.jpeg)
Com isso concluímos que as medidas são AD=8 e AE=12.
ótima explicação. parabéns